行测不定方程——四大快速解题技巧

 

　　方程：从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知数的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。

 

　　不定方程：未知数个数等于方程个数的方程成为普通方程，未知数个数多余方程个数的方程称为不定方程。

 

 

　　1.带入排除法

 

　　这种方法为解不定方程中最简单的方法，直接将选项代入题目，看哪个选项满足题目的要求即可。

 

　　【例】有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1和1.11的卡片各有多少张?

 

　　A.8张，31张 B.28张，11张

 

　　C.35张，11张 D.41张，1张

 

　　答案：A。解析：设写有1.1的卡片x张，1.11的卡片y张，1.1x+1.11y=43.21，代入A，1.1*8+1.11*31=43.21，符合题意。故选A。

 

　　2.整除

 

　　有些不定方程不能用带入排除法，则可以选择用整除来解题。即利用不定方程中各数除以同一个除数所得余数的关系来求解。

 

　　如2X+3Y=21的自然数解。我们注意到，21除以3余0，3Y除以3肯定也余0，那么2X也应是除以3余0，这样X只能取3的倍数了，如：0、3、6等。

 

　　【例】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。一直盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?

 

　　A.1 B.2 C.3 D.4

 

　　答案：C。解析：设买盖饭，水饺和面条的人数分别是x、y和z，则依题意可得15x+7y+9z=60。15x，9z，60都能被3整除，所以7x必能被3整除，故x能被3整除，选C。

 

　　3.奇偶性

 

　　采用最多的解不定方程的方法就是奇偶性。

 

　　如不定方程5x+4y=59，59是一个奇数，4y一定是一个偶数，那么，5x就一定是个奇数，则x取值只能取奇数，如1、3、5…等。

 

　　【例】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带领的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，哪儿目前培训中心还剩下学员多少人?

 

　　A.36 B.37 C.39 D.41

 

　　答案：D。解析：此题初看无处入手，条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。很明显，6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，所以x为偶数。然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式得y=11。

 

　　现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4*2+3*11=41人。因此选择D。

 

　　4.尾数法

 

　　如果以上三种方法都不能解决的不定方程，则采用尾数法。一般情况是有0或5结尾的数，想到尾数法。

 

　　如不定方程5x+4y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5x的个位数字一定是5，那么x一定取奇数;4y的个位数字一定是4，那么y只能是1、4、6结尾。

 

　　【例】现有149个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是?

 

　　A.5 B.6 C.7 D.8

 

　　答案：C。解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=149，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能转的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。

 

 

　　【真题1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是()。

 

　　A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆

 

　　答案：B。解析：设需要大客车的辆数为x，小客车的辆数为y，则有37x+20y=271。由于271是奇数，20y肯定是偶数，则37x一定为奇数，所以x取奇数，排除C、D;若x取1，退出y不为整数，不满足条件，故选B。

 

　　【真题2】：甲乙两种笔的单价分别为7元、3元。某小学用60元钱买这两种比作为学科竞赛一、二等奖奖品，钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是：

 

　　A.12 B.13 C.16 D.18

 

　　答案：C。解析：设可买甲乙两种笔分别为x、y支，则有7x+3y=60。由于3y与60都是3的倍数，则7x一定为3的倍数。当x=3时，y=13;当x=6时，y=6;所以x+y的最大值为3+13=16，故选C。